백준 Gold5 - 동전

시간 제한	메모리 제한	제출	정답	맞힌 사람	정답 비율
1 초	128 MB	16506	10989	8940	67.594%

문제

우리나라 화폐단위, 특히 동전에는 1원, 5원, 10원, 50원, 100원, 500원이 있다. 이 동전들로는 정수의 금액을 만들 수 있으며 그 방법도 여러 가지가 있을 수 있다. 예를 들어, 30원을 만들기 위해서는 1원짜리 30개 또는 10원짜리 2개와 5원짜리 2개 등의 방법이 가능하다.

동전의 종류가 주어질 때에 주어진 금액을 만드는 모든 방법을 세는 프로그램을 작성하시오.

입력

입력의 첫 줄에는 테스트 케이스의 개수 T(1 ≤ T ≤ 10)가 주어진다. 각 테스트 케이스의 첫 번째 줄에는 동전의 가지 수 N(1 ≤ N ≤ 20)이 주어지고 두 번째 줄에는 N가지 동전의 각 금액이 오름차순으로 정렬되어 주어진다. 각 금액은 정수로서 1원부터 10000원까지 있을 수 있으며 공백으로 구분된다. 세 번째 줄에는 주어진 N가지 동전으로 만들어야 할 금액 M(1 ≤ M ≤ 10000)이 주어진다.

편의를 위해 방법의 수는 $2^{31} - 1$ 보다 작고, 같은 동전이 여러 번 주어지는 경우는 없다.

풀이

동전의 가치가 $c_{1}, c_{2} ,..., c_{i} ,... ,c_{n}$ n개 있을 때 i번째까지 동전을 사용해서 k를 만드는 경우의 수를 $DP(i, k)$ 라고 한다. 이때 점화식은

$$DP(i, k) = \begin{cases} DP(i - 1, k) + DP(i, k - c_{n}) \quad, \; if \; (k-c_{n} \ge 0) \\ DP(i - 1, k) \quad else \end{cases}$$

이 된다. 예를 들어 1, 2, 5원 동전이 있을때 2원까지 사용하여 6원 동전을 만들때 점화식은 $DP(2, 6) = DP(1, 6) + DP(2, 6 - 2)$가 된다. 식을 풀이하면 1원 “만”을 사용해서 6을 만드는 경우의 수와 적어도 2원 동전을 적어도 “한번 이상” 사용하여 6을 만드는 경우의 수를 합치면 된다. 이때 2원을 한번 사용하면 6원에서 2원을 뺀 4원이 되고 1, 2원을 사용하여 4원을 만드는 경우의 수를 더하면 된다.

아래 표는 0부터 각 동전을 사용해서 만드는 경우의 수를 내려가면서 구한 것이다.

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
5	1	0	0	0	0	1	0	0	0	0	1
5, 1	1	1	1	1	1	2	2	2	2	2	3
5, 1, 2	1	1	2	2	3	4	5	6	7	8	10

이때 동전의 가치는 정렬되지 않아도 상관 없다. 0원으로 0원을 만드는 방법은 무조건 1가지고 나머지는 무조건 0가지이다. 이때 동전의 가치로 만들 수 없으면 0이다.